千禧年大奖难题（英文名：Millennium Prize Problems），又称世界七大数学难题，是七个由美国克雷数学研究所（CMI）于2000年5月24日公布的数学猜想。
千禧年大奖难题分别为NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼猜想、杨-米尔斯存在性与质量间隙问题、纳维乔治·斯托克斯方程解的存在性与光滑性问题以及BSD猜想。其中，黎曼猜想也位列戴维·希尔伯特于1900年8月在巴黎演讲中所提出的二十三个数学问题之中。根据CMI的官方规则，该所为每道难题设立一百万美元奖金，奖金总额为七百万美元。任何拟议解答须针对问题官方描述中所定义的完整数学问题，且须在具有全球声誉的同行评审数学期刊上发表。该期刊须满足编委会成员具名且可联系、审稿流程能确保由领域专家审查以及被MathSciNet收录等条件。最终是否合格完全由CMI自行认定，且解答自发表之日起须经过至少两年的全球数学界严格检验并获得普遍认可。
CMI设立千禧年大奖难题的初衷包括记录第二个千年之交所致力攻克的最困难问题，提升公众对数学前沿仍存未解难题的认识，强调攻克深奥难题的重要性，以及表彰具有历史意义的数学成就。截至2026年，千禧年大奖难题中仅有庞加莱猜想于2004年被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完全解决。
提出背景
数学是最古老的学科之一，许多难题历经千百年仍未被破解。1900年，戴维·希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出了23个数学问题，为20世纪数学研究指明了方向。
20世纪见证了费尔马大定理的证明、有限单群分类工作的完成等重大突破，数学理论获得了空前发展。受大卫·希尔伯特的启发，多位数学家也尝试整理和提出新的难题，以期为新世纪数学发展提供指引。尽管这些数学家本人具有高知名度，但他们的这项行动并未引起世界数学界的共同关注。2000年初，CMI的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，其董事会决定设立七百万美元的大奖基金，每个问题的解决者都将获得一百万美元的奖励。CMI设定千禧年大奖难题的目的，并非意在引导新世纪数学的发展方向，而是聚焦于那些对数学发展具有中心意义、数学家们长期追求且期待解决的重大难题。其初衷包括记录数学家们在第二个千年之交所致力攻克的一些最困难的问题，提升公众对数学前沿仍充满未解重大难题这一事实的认识，强调致力于解决最深奥、最困难问题的重要性，以及表彰具有历史意义的数学成就。
发展历史
2000年5月24日，千年数学会议在法兰西学院举行。会上，1998年菲尔兹奖得主伽沃斯以“数学的重要性”为题发表演讲，随后，塔特和阿啼亚公布并介绍了千禧年大奖难题，分别是NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼猜想、杨-米尔斯存在性与质量间隙问题、纳斯-乔治·斯托克斯方程解存在性与光滑性、BSD猜想。克雷数学研究所还邀请了相关领域的专家，对每个问题进行了较为详细的阐述。
2002年至2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼发表一系列论文，阐述对庞加莱猜想的证明方法。2004年至2006年，多个独立数学团队验证了其方法的正确性，此后该问题被公认为已解决。
2018年，千禧年大奖难题的评选规则作出修订，规定解答结果必须被“全球数学界普遍接受”。
奖励规则
根据CMI的官方规则，千禧年大奖难题的奖金授予遵循一套极为严格且审慎的完整程序，CMI为每道难题设立了100万美元的奖金，七道题共计700万美元，任何拟议解答必须是针对问题官方描述中定义问题的完整数学解答，且必须在具有全球声誉的同行评审数学期刊上发表，该期刊须满足编委会具名可联系、审稿流程能确保领域专家审查、并被MathSciNet收录等条件，最终是否合格完全由CMI自行认定，自发表之日起须经过至少两年的全球数学界严格检验并获得普遍认可，CMI在判断时会综合考量独立研究者讨论该解答的出版物数量与质量、相关国际会议与专业集会的讨论情况、相关奖项的数量与质量，以及其他任何能反映共识的因素，之后CMI才会启动内部审议流程。
若CMI认定该解答值得详细审查，将召集一个不少于三名成员且其中至少两人为该问题领域专家的特别顾问委员会进行深入评审，委员会在合理时间内提交报告，CMI基于该报告并视需要进行进一步调查后做出是否授予奖金的终局决定，该决定完全由CMI自行酌定、不接受上诉且无需向被评估者提供任何解释，需要特别注意的细节包括CMI不接受任何直接提交的拟议解答，所有决策程序严格保密且相关记录五十年内不得公开，CMI可自行决定将奖金授予一人或多人，若解答关键依赖于前期已发表的重要洞见，CMI有权在获奖引文中予以认可或建议将前期作者纳入分享，若无法就正确性或归属达成一致则可决定不授予奖金，但若有新信息出现可在新信息出现后再经过两年重新考虑，对于P/NP问题和纳维-斯托克斯问题无论证明还是证否均具备获奖资格，对于其他问题提出的反例若有效解决原问题可获奖金，若仅导致问题重新表述则可能只获得从CMI其他资金支出的小额奖励而非百万美元奖金，奖金应在获奖者收到通知后九十天内交付，任何与CMI无利益冲突的人员包括当时在任的科学顾问委员会或董事会成员均有资格获奖，所有规则的解释与管辖均适用特拉华州法律，申请人不可撤销地接受新罕布什尔州法院及联邦法院的非专属管辖。
仅列举部分，参考资料：
难题简介
NP完全问题
NP完全问题是理论信息学中计算复杂度理论领域的一个未解难题，其核心在于判断两个复杂度类P和NP是否相等，即P=NP是否成立。
复杂度类P包含所有可由确定型图灵机在多项式时间内解决的问题；而类NP则由所有其肯定解能在给定正确信息的前提下于多项式时间内被验证的决定问题构成，等价地说，也指那些解可以在非确定型图灵机上于多项式时间内找到的问题集合。在这两类复杂度类之间关系的探讨，即P与NP是否相等，被认为是计算理论中最重要的未解问题之一。
若NP完全问题得到解决，并且P=NP被证明成立，那么所有NP类问题都将可以在多项式时间内求解。然而，无论最终结论是P等于NP还是不等于NP，这一问题的研究都在深入探究计算机程序的能力边界，并有望在多个层面上推动计算机科学的发展。
霍奇猜想
霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。由威廉·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想，与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。
猜想的主要内容即为在非奇异复射影代数簇上，任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合，并断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。用通俗的话说，就是“再好再复杂的一座宫殿，都可以由一堆积木垒成”。霍奇猜想的证明若得以实现，会为代数几何、拓扑学和数学分析三个领域建立一种基本的联系，因此具有重大意义。
庞加莱猜想
亨利·庞加莱猜想是拓扑学领域一道由法国数学家庞加莱提出的一个猜想难题，其猜想内容为：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。简单的说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面。
在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。 在格里戈里·佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全他给出的证明中缺少的细节。其中包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及里海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。最终，数学界确认格里戈里·佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
黎曼猜想
伯恩哈德·黎曼猜想（或称黎曼假设）是在数论领域中关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。
黎曼猜想指的是：“对于黎曼ζ 函数 ζ(s) ，其非平凡零点的实数部分都是1/2。”也可以表述成，“黎曼ζ 函数 ζ(s) 的零点要么是负偶数，要么是实部为1/2的复数。”即方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。在猜想提出后的近160年间，有许多数学大家想要采用不同或是相同的方法来证明黎曼猜想，但都无疾而终。
虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是数学界最重要的数学难题之一。此外，黎曼猜想也位列戴维·希尔伯特于1900年8月在巴黎演讲中所提出的二十三个数学问题之中。
杨-米尔斯存在性与质量间隙问题
杨-米尔斯存在性与质量间隙（Yang-Mills Existence and 质量 Gap）是理论物理中的一个重要问题，涉及到杨-米尔斯理论中的基本粒子质量是否存在以及是否存在一个质量间隙。杨-米尔斯理论是1954年由杨振宁和罗伯特·米尔斯提出的理论，用以描述基本粒子间的相互作用，特别是强相互作用。
经典杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程，杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解，并且该解满足“质量间隙”这一特征。其官方表述为：对任意紧致、单调的规范群，四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在一个正的质量间隙。质量间隙问题是量子色动力学理解强相互作用的理论关键，关乎理论物理学的数学基础，其解决将意味着一个数学上完整的量子规范场论的产生。
纳维-斯托克斯方程解存在性与光滑性
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S方程。粘性流体的运动方程首先由纳维在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程。圣维南与乔治·斯托克斯在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。三维空间中的N-S方程组光滑解的存在性问题被美国克雷数学研究所设定为七个千禧年大奖难题之一。
解决纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性问题，对于深入理解流体力学现象及其实际应用具有重要意义。该问题的突破不仅会推动数学理论的发展，也会在工程、气象学等多个学科领域产生深远影响。
BSD猜想
BSD猜想，全称为贝赫和斯维纳通-戴尔猜想（Birch and Swinnerton-Dyer 猜想），它描述了尼尔斯·亨利克·阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系。
数学家们历来着迷于求取诸如x2+y2=z2这类代数方程的所有整数解。欧几里得曾给出该方程的完整解答，但面对更复杂的方程时，问题变得异常困难。事实上，马蒂雅谢维奇（Yu.V.Matiyasevich）已指出，希尔伯特第十问题不可解——也就是说，不存在一种通用方法能判定任意方程是否具有整数解。
当所求解为阿贝尔簇上的点时，BSD猜想断言，该簇上有理点构成的群的大小，与某个关联的蔡塔函数z(s)在s=1附近的性质密切相关。特别地，这一著名猜想认为：若z(1)=0，则存在无穷多个有理点（即解）；反之，若z(1)≠0，则只存在有限多个这样的点。
由BSD猜想可推导出奇偶性猜想、西尔维斯特猜想等多个重要结论。其中最为著名的关联之一是同余数问题：从BSD猜想可以推出，模8余5、6、7的无平方因子的正整数，必定可以成为某个有理边长直角三角形的面积。
参考资料 >
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The Millennium Prize Problems.claymath.2026-08-03
Millennium Prize Description and Rules.claymath.2026-08-03
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