调和分析(数学的一门分科)

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调和分析（英文名：Harmonic Analysis），也称傅里叶分析，是数学的一门分科，主要研究函数展开成傅里叶级数或傅里叶积分，以及有关这种级数和积分的性质及应用。

调和分析起源于物理学中将一个周期振荡分解为简谐振荡的叠加问题，它与许多学科互相渗透而发展起来。现代调和分析内容相当丰富，它与偏微分方程论、复变函数论、概率论、代数及拓扑等许多数学分支都有密切联系。调和分析发展的数学工具包括小波变换和加伯变换等，应用在发展泛函表示的新形式中，以及数学、信息处理和量子力学等领域。

从应用角度来说，有效确定傅里叶级数问题的运算称为实用调和分析。抽象调和分析是调和分析更深入的现代数学分支，即研究拓扑群上的调和分析理论，特别是傅里叶变换理论。Abel紧群的列夫·庞特里亚金对偶理论是调和分析特征在现代数学处理中的合适写照。对一般的非Abel局部紧群来说，调和分析与酉群的表示论密切相关。现代研究涉及色散方程，研究并证明了波导流形上薛定谔方程的双线性Strichartz估计，并通过例子说明此结果为最佳。

含义

调和分析是现代数学分析的核心领域之一，其成就让一代代分析学家为之倾倒与奋斗。按照华罗庚的说法，把已知函数展开成傅里叶级数的运算就叫做调和分析。事实上，调和分析也正是从傅里叶级数和傅里叶变换理论的研究开始发展壮大的。从物理的观点，调和分析就是要把信号表示为基本波“调和子”的超位置叠加。

调和分析的发展可以追溯到傅里叶分析。调和分析发展的数学工具，例如小波变换和Gabor变换，都是某些场合（具有某种性质的空间，例如Bosov空间）中本质上最优的变换。调和分析已经成功地应用在发展泛函表示的新形式中，这些已经证明了调和分析具有重要的意义。傅里叶变换和小波变换是应用于函数逼近的两种典型工具。

分类

从应用角度来说，有效确定傅里叶级数问题的运算称为实用调和分析。有限调和分析是实用调和分析的主体框架，即从有限个数据所应计算的最恰当的项数的角度，从有限到有限的思想方法来解决实际问题的傅里叶方法是有限调和分析的应用价值所在。再从物理的角度，人们可以发现量子力学中的测不准关系有着调和分析版的解释，即Paley‑Wiener定理所描述的非零紧支集广义函数的傅里叶变换没有紧支集。

抽象调和分析是调和分析更深入的现代数学分支，即研究拓扑群上的调和分析理论，特别是傅里叶变换理论。Abel紧群的Ponteyagin对偶理论是调和分析特征在现代数学处理中的合适写照。对一般的非Abel局部紧群来说，调和分析是与酉群的表示论密切相关的。经典卷积的傅里叶变换是傅里叶变换的乘积的性质可以通过对紧群的Peter‑Weyl定理有所升华体现。当群既非Abel又非紧群时，一般的抽象调和分析理论还不是很完善。例如，是否此时存在Plancherel定理的类似物还不知道。但是在许多特殊情况下，通过无穷维表示技术是可以分析一定的相关问题的。

应用领域

截至2011年，调和分析已经形成了庞大的学科体系，并应用在数学、信息处理和量子力学等领域。

含义

分类

应用领域

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