从2520的秘密说起（math0001）

题记

这是最好的时代，这是最坏的时代；这是智慧的时代，这是愚蠢的时代；这是信仰的时期，这是怀疑的时期；这是光明的季节，这是黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前有着各样事物，人们面前一无所有；人们正在直登天堂，人们正在直下地狱。

——查尔斯·狄更斯《双城记》

知道自己不知道

女儿在读小学五年级了，学过的数学知识包括小学数论，知识点有最大公因数、最小公倍数、质数、合数、同余、整除特征等等。我考了考她，数的整除特征的知识点掌握的不好，当除数分别是2~11时，能够被整除的被除数的特征她就说不全。怎么办呢？灵光一闪，想到了我小时候看过的一本趣味数学书《趣味数学100题》。好吧，就从这里开始吧。

我手里的这本书已经不是当年的那本书了，而是重新发现购买的书。2000年10月27日，我在四川德阳宝山街旧货市场淘书时，发现这本书，勾起了童年的回忆，于是买下了。请翻到第39页，看看第69题：2520的秘密。题目如下：

学者在一座埃及金字塔的墓碑上发现了一组象形文字，翻译出来原来是一个数字——2520。以后的研究引起了数学家的浓厚兴趣，原来古埃及人很早就知道了2520这个数的特性，它是2、3、4、5、6、7、8、9、10这九个自然数的最小公倍数。

我们可以试一试：2520÷7=360。

对其他8个除数，都可以不用具体计算就说明它们确实可以整除2520的，你能说明理由吗？

不卖关子了，请把书翻到103页，查看答案。

答：下面是一些判别某数能否被2、3、4、5、6、8、9、10整除的方法，可以看到2520能被各数整除。

（1）个位数字是偶数的数能被2整除。

（2）各位数字之和是3的倍数的数能被3整除。

2+5+2+0=9，是3的倍数。所以2520能被3整除。

（3）十位与个位数字连成的数是4的整倍数的数能被4整除。

考察2520,20能被4整除，所以2520能被4整除。

（4）个位数字是0或5的数能被5整除。

（5）能分别被2与3整除的数必能被6整除。

（6）百位与十位数字连成的数，加上个位数字之半，能被4整除的数必能被8整除。分析2520,52+0×二分之一=52能被4整除。因此2520能被8整除。

（7）个位数字之和是9的倍数的数能被9整除。2+5+2+0=9，是9的倍数。所以2520能被9整除。

（8）个位数字为0的数能被10整除。

于是，我们不用具体计算，知道2520能被2、3、4、5、6、8、9、10整除。

补充解释一下：52能被4整除，是怎么看出来的呢？40肯定能被4整除，于是52-40=12，再看12显然能被4整除，于是知道了52能被4整除。92如何判断呢？92-80=12，显然，92肯定能被4整除。

当年我看了这道题，觉得7是一个神秘的数字，居然找不到判断某数能否被7整除的特征，只好用具体计算来验证。后来，知道了1001的秘密，于是神话被打破了。

1956年，中国青年出版社翻译了苏联科普作家别莱利曼的《趣味代数学》。这本书在1957年11月10日被读者何哲民购于甘孜新华书店，2000年8月19日被我从德阳旧货市场买到手，花费2元。原书定价五角五分。

请翻到第81页，看看小标题：没有代数倒更简单些。书中有一个问题与上面所说的“2520的秘密”相类似。请看题：

找一个最小的数，它用2除余1，2除余1，3除余2，4除余3，5除余4，6除余5，7除余6，8除余7，9除余8。

书上给出的答案如下：

【解】有人会问：“这问题怎样解法呢？”这里方程式太多了；而又不能解？

这解释是很简单的。要解这个问题并不需要方程式，也不需要代数——它可以用简单的算术推理法来解决。

在这所求的未知数上加1。那么用2除时余数是什么呢？余数是1+1=2；换句话说，这数可用2除尽。同样可以知道这数也可以用3、4、5、6、7、8、9各数除尽。所以这样的数最小的是

9·8·7·5=2520

那么所求的数是2519，这很容易试验出它是对的。

当年的我读到此处时，在书上写下了一行批语：2³·3²·5·7=2520。

是什么意思呢？Ex的LCM函数的主要作用是计算最小公倍数，本文介绍MifEx中LCM函数的公式语法和用法。本文网址：h：//www.ffizhh./xh/LCM.h

《趣味代数学》还提供了对11的可除性判定法和对19的可除性判定法。

第一种对11的可除性判定法：由一切奇数位数码的总和里减去一切偶数位数码的总和；如果这差数是0，或者是一个11的倍数（不论正负），则所试验的这个数就是一个11的倍数；在相反的情形，则我们这个数就不能用11除尽了。

例如我们来试一下87635064这个数：

8+6+5+6=25

7+3+0+4=14

25-14=11

这意思就是说，所给的这个数是可以用11除尽的。

11的可除性还有另一种判定法，对不很长的数用起来是很方便的。这方法是：把所要试验的数自右至左每两位截成一节，然后把这些节加起来。如果这样所得到的和可以用11除尽，则所试验的数就是11的倍数，在相反的情形，就不是。例如所要试验的数是528。把这数分为两节（5｜28），然后把两节加起来：

5+28=33

既然33可用11除尽，所以528亦可用11除尽：

528÷11=48

书上接下来是对这个可除性判定法的证明，既然读者不喜欢看，那我就省略了。

下一个小节，介绍了一种19的可除性判定法。作者别莱利曼的注释：不妨在此提一下，这方法是我的儿子（一个中学生）所发明的，固然这也并不足为奇。——著者

一个数能用19除尽的必要而充足的条件是：截去末位后加上末位的两倍，这样所得的数是19的倍数。书上有证明过程，大家不爱看，我又省略了。直接看书上的例题，判定47045881能否被19除尽。

4704588｜1

2

---------------

47045｜90（删除0）

18

---------

4706｜3

6

------------------

471｜2

4

------

47｜5

10

-----

5｜7

14

-----

19

既然19可以用19除尽，故可依次推知57、475、4712、47063、470459、4704590、47045881也都是19的倍数。

话说回来，该说说7的可除性判定法。1001的秘密是啥意思呢？（1001=7·11·13）

话说现在都是9012年了，还在说一本1956年的书和一本1979年的书，你懂不懂什么是与时俱进？

好吧，你说的好有道理，我竟然无言以对。那么我们谈谈微信公众号吧。在微信使用搜索功能，可以搜索网页和公众号，内容优质，用户体验极佳。现在向大家汇报一下在微信搜索关键词“数的整除”有什么发现。以下内容感谢微信公众号的贡献。7、13、25、125的可除性判定法都能够找到，甚至还有整除性质和奇偶性的内容。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

A.能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数0，2,4,6,8都能被2整除），那么这个数能被2整除。

B.能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除。

C.能被4或25整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。

D.能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除。

E.能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。

F.被7整除的数。方法一:一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

方法二：、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数），如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．

如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。

如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．

如：判断383357能不能被13整除．

这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．

G.被8整除的数，如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如：9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。

H.被11整除的数的特征,把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。—→奇位数字的和9+6+8=23，—→偶位数位的和4+1+7=12，23-12=11因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。

I.被13整除的数的特征,把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100所以，1284322能被13整除。

看完以上内容，有几点感想。

1、这是最好的时代，这是最坏的时代；这是智慧的时代，这是愚蠢的时代；这是信仰的时期，这是怀疑的时期；这是光明的季节，这是黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前有着各样事物，人们面前一无所有；人们正在直登天堂，人们正在直下地狱。

查尔斯·狄更斯的《双城记》故事背景写于法国大革命前后，故事暂且不提，在全文开端写下这一段，是作者对时代全局的一个描述，这段话套用在任何一个时代都非常经典。双城指的是伦敦和巴黎。

我们现在身处于中国五千年来，有史以来最好的时代。物质财富极大的丰富，精神文化产品的供给也琳琅满目，应有尽有。但是，我想问的是，我们还有一颗追求学问如饥似渴的初心吗？

2、从教育公平的角度说，现在是最好的时代。假设你在贫困地区，你和发达地区的学生肯定有差距，但是没有你所想象的那么大。只要村里通网，知识唾手可得。注意了，我说的是免费的，不是说需要你知识付费，也不要你报补习班、培训班，重点是免费。

例如微信公众号可以看名师教学视频，图文教程，甚至可以下载电子书。B站都有大量的学习资源。网易公开课、中国大学MOOC(慕课)_优质在线课程学习平台等等，只要你肯学，资源不是问题，最大的问题是把知识喂到你嘴边，你却告诉我你不想学，说什么知识有什么用。

3、数学的能量。有人说数学没有能量，我不能同意。凭借数学的能量，古希腊人在公元前300年左右就计算出了地球的半径和周长，计算金字塔的高度更是小菜一碟。难道这不是数学的能量吗？如果我们今天的数学水平还只有小学水平，那么什么手机、电脑、微信，都是痴人说梦。

4、今天研究数学的手段更加丰富多彩。比如说，家长辅导小孩的数学作业有困难，可以使用计算器、电脑可以安装微软数学这个优秀的软件，类似的软件还有几何画板等等。甚至说Ex也是数学研究的强有力的工具。

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花絮：

我收藏的图书

网上找的图片

发现我收藏的《趣味代数学》的文字，有繁体和简体混用的现象，搞不懂是怎么回事。例如“数”这个字在书中繁体和简体都出现过。真的搞不懂。

女儿的数学成绩还不错，我想到了一首歌曲，鼓励小学生努力学习。感谢阅读，再见。

歌词：

《我真的很不错》演唱：伍思凯

作词：娃娃作曲：伍思凯编曲：伍思凯

没有时间在无谓的承诺叹息

让太阳晒一晒充满希望的背脊迎着世界的风

我要无畏的挺立

对于必须做的事

我一点都不怀疑要做就做最好的

不要明天才说真的可惜

我知道我能做到的

就是不停不停不停不停不停不停的努力

哦~~我真的不错我真的很不错

哦~~我真的不错哦~~我真的很不错

我的朋友我想骄傲的告诉你

我的朋友我想骄傲的告诉你哦~~

我真的很不错我真的很不错

我是真的真的真的真的真的很不错

我真的很不错我是真的很不错

我是真的真的真的真的真的很不错

Win10正式版前，对Windows RT设备说再见

微软已经宣布在2015年7月29日发布Wi10正式版，这对于大部分用户来说都是值得高兴的事。然而，有一部分用户可能并不会像大多数人那样开心，那就是使用WiwRT系统的平板电脑用户。虽然微软并没有明确宣告WiwRT的终结，但事实上SfRT设备早已遭遇“滑铁卢”，其搭载的WiwRT系统也被微软官方所放弃，不在升级Wiw10的范围内。而且其继任者Sf2和“小伙伴”诺基亚Li2520也同样遭受了被抛弃的命运，它们虽然各有优点，但终究不被市场承认。

SfRT

对于这三款失败的产品，也许命运在其诞生之日起就已注定。我们谨以此文回顾一下它们短暂而坎坷的一生，首先是它们的详细参数。

这些设备从配置上看貌似能够满足用户日常需求，可实际上决定用户使用体验的更多是电脑的灵魂：操作系统。令人遗憾的是，这三款电脑所搭载的WiwRT/WiwRT8.1系统却没能让大多数用户满意，因为这款系统有许多致命缺陷让用户倍感失望。原因有二：

1、除Offi外，无法运行其他Wi32应用

Wiw的最大优势就是兼容性强大，生态系统完善，而这一优势就是靠海量Wi32应用支撑起来的。可在WiwRT中，这些应用却被微软无情的拒之门外，剩下的只是相比之下为数不多的M应用，这从数量上极大地限制了这款系统的功能。唯一的例外就剩下微软宣传的内置Offi了，而这也成了WiwRT为数不多的亮点。

2、M应用数量少、质量低，难堪大任

就算只能用M应用，它们也得给力才行。事实上这些应用相比Wi32应用来说却少得可怜，而且十分简陋，难堪大任。尤其是这些设备发布之初，看似干净整洁的M应用也许给了用户不错的第一印象，可这“不错”大多是出于对事物的新鲜感。而当用户想让这些应用“挑大梁”的时候，却发现很多时候都找不到想要的应用，而且已有的应用很多也都是“烂泥扶不上墙”，因此当用户办正事的时候也只能用台式机、笔记本甚至是iP了。

所以，可以确定这么一个生来“孱弱”的系统必定是平板电脑界的“刘阿斗”。不过刘禅在失去诸葛亮的辅佐后还能坚持12年，而安装了WiwRT的这三款电脑满打满算总共坚持了两年多，从时间上来看，真是连“阿斗”都不如。当然，这么说只是开玩笑，如果按时间算，目前也就XP这棵“常青树”能超过刘禅独立执政的时间。

但是也得承认，SfRT等设备也有亮点，那就是外观好看、键盘新颖、界面整洁、广告精彩、M应用足够安全。但这些所谓的优势并不能力挽狂澜，因为它们和“强大的”缺点“生态圈脆弱”比起来实在是太逊了。

Li2520

回顾完这三款电脑的参数以及操作系统缺陷，我们再一同看看WiwRT系统是如何一步步走向衰落和灭亡的。

大事记

2011年1月，时任微软CEO的史蒂夫·鲍尔默在CES展会上演示了运行在ARM架构上的Wiw8，正式宣告Wi8加入ARM阵营。第二年4月，微软正式宣布WiwARM项目官方发布命名为“WiwRT”，即使用WiwRi架构之意。同年6月，微软宣布SfRT这款ARM架构的平板搭载WiwRT操作系统，但只能运行来自WiwS的应用，仅支持有限的桌面应用比如Offi。10月，SfRT等一系列的搭载WiwRT系统的平板正式推出，WiwRT正式和消费者见面。

然而，这款平板系统一开始却对IE浏览器Fh内容作了限制，这使得很多用户都感觉十分不方便。此后，有黑客自发破解这一限制。2013年3月11日，微软正式宣布IE解除Fh白名单限制，可浏览任意网页上的Fh内容。

Sf2

此时，WiwRT的表现仍然非常不容乐观。为了改变这一被动局面，微软在2013年6月宣布了WiwRT8.1系统，并且WiwRT8.0设备都可以免费升级。9月，微软发布了搭载WiwRT8.1系统的平板电脑Sf2，希望这款电脑能够提升Sf在用户中的地位。10月17日，微软正式通过WiwS分发WiwRT8.1更新，但是结果很糟糕，导致很多用户出现启动失败，微软而后又暂时下架了此更新。4天后的21日，微软重新上架更新，并且提供了修复工具给WiwRT用户。

但自从2014年以来，Sf2以及WiwRT8.1的表现仍然没什么起色。当时各个硬件厂商早已放弃WiwRT系统，无一第三方厂商发布搭载WiwRT8.1设备的平板电脑，媒体也不断的唱衰WiwRT系统，Sf2销量一直下降。

到了2015年3月，微软在WiHEC上表示WiwRT无法更新至Wiw10。同年4月微软发布了搭载x86核心的Sf3，WiwRT系统正式宣告死亡。

结语

SfRT、Sf2和Li2520的兴衰史（貌似没有真正兴旺过）是微软踏足平板电脑市场的一次重要的“试水”，从市场反应来看，这些尝试无疑是失败的，微软和消费者都因此付出了感情和财产的代价。但微软的学费没白交，之后SfP3的成功和这些失败不无关系。如今在Wi10正式版发布之前，是时候和WiwRT以及该系统的三款平板电脑说再见了。

微软确认Lumia2520停产，Windows RT陨落

IT之家（www.ih.）：微软确认Li2520停产，WiwRT陨落

IT之家讯2月4日消息，微软是最后的WiwRT平板设备生产商，但现在这家巨头也不再推出任何的WiwRT设备。一位微软发言人向ThV证实，该公司已经停止生产诺基亚Li2520平板电脑。

“我们将不再生产诺基亚Li2520，不过如果用户仍想购买可以去微软零售店、微软网上官方商城、第三方零售店。”该确认消息在微软宣布停止生产Sf2平板后仅仅过了一周。

最初，联想、华硕、三星和戴尔都曾支持过WiwRT，不过由于消费者缺乏兴趣，导致销售相当缓慢。在ARM平板电脑出货量开始放缓的时候，微软的WiwRT平板最终以失败告终。缺乏触摸应用，再加上令人困扰的桌面模式，古怪的系统命名，使得WiwRT最终面临审判。现在大多数OEM厂商选择推出基于英特尔芯片的Wiw平板，尺寸为7英寸或8英寸。

现在所有的关注都在Wiw10上，微软也展示了一些Wi10fPh系统特性，但是并没有展示小尺寸Wiw10ARM平板。微软曾称，Wi10平板系统为8英寸及以上尺寸平板设计，拥有桌面模式。微软现在还没有透露Wiw10的ARM平板计划。

而Sf系列由于SfP3的强势而逐渐好转，微软将继续专注专业的英特尔x86平板电脑，WiwRT将消失在记忆中。（vi:ThV）